Question

15．如图：抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？

Answer 1

分析 （1）由OC与OD的长，求出MD的长，确定出M坐标，设y=a（x-2）²+6，把C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式设出P坐标，过点P做x轴的垂线，交x轴于点E，利用表示出的点P的坐标确定出线段PE、DE的长，用梯形OCPE的面积减去直角三角形OCD的面积和直角三角形PDE的面积，进而得出S与x的函数解析式，利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可．

解答 解：（1）∵OC=4，OD=2，
∴DM=6，
∴点M（2，6），
设y=a（x-2）²+6，代入（0，4）得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴该抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+6；


（2）设点P（x，-$\frac{1}{2}$ （x-2）²+6），即（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x+4），x＞0，
过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，
则PE=-$\frac{1}{2}$x²+2x+4，DE=x-2，
S=$\frac{1}{2}$x（-$\frac{1}{2}$x²+2x+4+4）-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$（x-2）（-$\frac{1}{2}$x²+2x+4），
即S=-$\frac{1}{2}$x²+4x=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8，
∴当x=4时，S有最大值为8．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．