【题目】对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略,我们知道,等腰三角形两腰上的高 线相等,那么等腰三角形两腰上的中线,两底角的角平分线也分别相等吗?它们的逆命 题会正确吗?
(1)请判断下列命题的真假,并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”.
①等腰三角形两腰上的中线相等 ;
②等腰三角形两底角的角平分线相等 ;
③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形 ;
(2)请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题,如果逆命题为真,请画出图形,写出已知、求证并进行证明,如果不是,请举出反例.
【答案】(1)①真;②真;③真;(2)逆命题是:有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形;见解析.
【解析】
(1)根据命题的真假判断即可;
(2)根据全等三角形的判定和性质进行证明即可.
(1)①等腰三角形两腰上的中线相等是真命题;
②等腰三角形两底角的角平分线相等是真命题;
③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形是真命题;
故答案为:真;真;真;
(2)逆命题是:有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形;
已知:如图,△ABC中,BD,CE分别是AC,BC边上的中线,且BD=CE,
求证:△ABC是等腰三角形;
证明:连接DE,过点D作DF∥EC,交BC的延长线于点F,
∵BD,CE分别是AC,BC边上的中线,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,
∵DF∥EC,
∴四边形DECF是平行四边形,
∴EC=DF,
∵BD=CE,
∴DF=BD,
∴∠DBF=∠DFB,
∵DF∥EC,
∴∠F=∠ECB,
∴∠ECB=∠DBC,
在△DBC与△ECB中
,
∴△DBC≌△ECB,
∴EB=DC,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
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【题目】如图1,在矩形中,,,是边上一点,连接,将矩形沿折叠,顶点恰好落在边上点处,延长交的延长线于点.
(1)求线段的长;
(2)如图2,,分别是线段,上的动点(与端点不重合),且,设,.
①写出关于的函数解析式,并求出的最小值;
②是否存在这样的点,使是等腰三角形?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知A,B两点分别在x轴和y轴的正半轴上,连接AB与反比例函数的图象交于C、D两点.
(1)当0A=6,OB=3,点D的横坐标为2时,则k=____,=_______.
(2)当0A=a,OB=b时,请猜测AC与BD之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图,以D为顶点且过点O的抛物线分别交函数的图像和x轴于点E、F,连接CF,设=m..
①若∠AFC=90°,则m的值为多少?
②若∠ACF=90°,且m>时,请用含m的代数式表示tan∠BAO的值.
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【题目】如图,将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内,使三角板的0cm刻度线与量角器的0°线在同一直线上,且直径DC是直角边BC的两倍,过点A作量角器圆弧所在圆的切线,切点为E,则点E在量角器上所对应的度数是____.
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【题目】扬州市“五个一百工程”在各校普遍开展,为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况,从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查,并将结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
根据以上信息,请回答下列问题:
(1)表中a= ,b= ;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)若该校有学生1200人,试估计该校学生每天阅读时间超过1小时的人数.
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【题目】某电子厂商设计了一款制造成本为18元新型电子厂品,投放市场进行试销.经过调查,得到每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的部分数据如下:
销售单价x(元/件) | … | 20 | 25 | 30 | 35 | … |
每月销售量y(万件) | … | 60 | 50 | 40 | 30 | … |
(1)求出每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式.
(2)求出每月的利润z(万元)与销售单x(元)之间的函数关系式.
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售利润率不能高于50%,而且该电子厂制造出这种产品每月的制造成本不能超过900万元.那么并求出当销售单价定为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(利润=售价﹣制造成本)
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【题目】如图,已知直线与双曲线交于A、B两点,点B坐标为(-4,-2),C为双曲线上一点,且在第一象限内,若△AOC面积为6,则点C坐标为( )
A. (4,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (2,4)
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