Question

如下图，△ABC中，AH是高，已知∠BAC＝45°，BH＝2，CH＝3，求△ABC的面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：作△HAC关于直线AC的对称△MAC，作△HAB关于直线AB的对称△NAB，延长MC和NB，它们相交于L． 　　∴∠M＝∠N＝90°，∠NAM＝2∠BAC＝90°， 　　又AM＝AH＝AN， 　　∴四边形LMAN为正方形． 　　设正方形的边长为a，则 　　CL＝ML－MC－a－3，BL＝NL－NB＝a－2， 　　在Rt△BCL中，根据勾股定理，有 　　BL2＋CL2＝BC2， 　　即(a－2)2＋(a－3)2＝25， 　　解这个方程得a＝6(舍去负值)． 　　∴AH＝6，∴S△ABC＝BC·AH＝15． 　　分析：关键是求高AH，只从图形本身很难求得．充分利用∠BAC＝45°个条件，挖掘图形的潜在因素，作轴对称变换可使问题变得“柳暗花明”． 　　说明：通过轴对称变换，改变了题目中线段、角的位置，使△ABC的高AH与已知线段BC＝5通过勾股定理建立起联系，突破了解题难关．