Question

【题目】如图，将抛物线M1：y＝ax2+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线y＝x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是﹣3．

（1）求a的值及M2的表达式；

（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF．

①当点C的横坐标为2时，直线y＝x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；

②在点C的运动过程中，若直线y＝x+n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）M2的顶点为（1，﹣1），M2的表达式为y＝x2﹣2x；（2）①n＝﹣2；②n＞3，n＜﹣6．

【解析】

(1)将点A横坐标代入y＝x，即可得出点A纵坐标，从而得出点A的坐标，根据点A在抛物线M1：y＝ax2+4x上，代入即可得出a的值，将抛物线M1化为顶点式，根据平移的原则即可得出抛物线M2；

(2)①把点C横坐标代入y＝x，即可得出点C坐标，从而得出点F坐标，把点F代入y＝x+n即可得出n的值；

②根据直线y＝x+n与正方形CDEF始终没有公共点，直接可得出n的取值范围．

(1)∵点A在直线y＝x，且点A的横坐标是﹣3，

∴A(﹣3，﹣3)，

把A(﹣3，﹣3)代入y＝ax2+4x，

解得a＝1，

∴M1：y＝x2+4x，顶点为(﹣2，﹣4)，

∴M2的顶点为(1，﹣1)，

∴M2的表达式为y＝x2﹣2x；

(2)①由题意，C(2，2)，

∴F(4，2)，

∵直线y＝x+n经过点F，

∴2＝4+n，

解得n＝﹣2；

②将y=x代入y＝x2﹣2x，得

x2﹣2x=x，解得：x1=0，x2=3，

∴点B(3，3)，

当点C与点A重合时，点D的坐标为(-3，0)，

此时有-3+n=0，解得：n=3；

当点C与点B重合时，点E的坐标为(6，0)，

此时有6+n=0，解得：n=-6，

综上可知，当直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点时，n＞3或n＜﹣6．