Question

7．如图，射线OP过Rt△ABC的边AC、AB的中点M、N，AC=4cm，BC=4$\sqrt{3}$cm，OM=3cm．射线OP上有一动点Q从点O出发，沿射线OP以每秒1cm的速度向右移动，以Q为圆心，QM为半径的圆，经过t秒与BC、AB中的一边所在的直线相切，请写出t的所有可能值1s或5s或（$\frac{2\sqrt{3}+9}{3}$）s（单位：秒）

Answer 1

分析 如图，作OG⊥AB于G，由题意OG=$\frac{1}{2}$ON=$\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$＞3，所以⊙Q在AC的左边不可能与AB相切．接下来分三种情形讨论求解即可．

解答 解：如图，作OG⊥AB于G，由题意OG=$\frac{1}{2}$ON=$\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$＞3，所以⊙Q在AC的左边不可能与AB相切．

相切有三种可能：当⊙Q与BC相切时，MQ=2，
∴|t-3|=2，
∴t=1或5．
当⊙Q与AB相切时，设切点为H，连接QH．
易知QN=2QH，
∴2$\sqrt{3}$-（t-3）=2（t-3），
解得t=$\frac{2\sqrt{3}+9}{3}$，
综上所述，t=1s或5s或（$\frac{2\sqrt{3}+9}{3}$）s时，⊙Q与BC/AB相切．
故答案为1s或5s或（$\frac{2\sqrt{3}+9}{3}$）s

点评 本题考查切线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．