Question

4．已知一次函数y=2x+b经过点A（0，-12），且与一次函数y=-x相交于点P．
（1）求b的值及点P的坐标；
（2）如图①，是否存在点D，是四边形OPBD为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N，将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN，在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为ts，求S关于t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）把A（0，-12）代入y=2x+b即可求得b的值，解两个一次函数的解析式组成的方程组，即可求得P点的坐标；
（2）由平行四边形的性质求得OD∥BP，OD=PB，根据直线PB为y=2x-12，即可求得直线OD的解析式为y=2x，B（6，0），进而求得PB的值，设点D的坐标是（a，2a），根据OD=PB列出关于a的方程，解方程即可求得；
（3）由P（4，-4）可知直线OP解析式为y=-x，当P₁落在x轴上时，M、N的纵坐标为-2，此时t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4两种情形，分别表示重合部分面积．

解答 解：（1）∵一次函数y=2x+b经过点A（0，-12），
∴把A的坐标代入解析式得b=-12，
∴y=2x-12；
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-12}\\{y=-x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴P的坐标为（4，-4）；
（2）存在点D，使四边形OPBD为平行四边形．如图①，
∵四边形OPBD是平行四边形，
∴OD∥BP，OD=PB
∵直线PB为y=2x-12，
∴直线OD的解析式为y=2x，B（6，0），
∴PB=$\sqrt{（6-4）^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$，
设点D的坐标是（a，2a），
∴OD=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{20}$，
解得a=±2，
∴D（2，4）；
（3）如图②，∵△P₁MN与△PMN关于直线MN对称，
∴PP₁⊥MN，
∵MN∥x轴，
∴PP₁⊥x轴，
设直线PP交MN于H，交x轴于G，则PG=4，
∵P（4，-4），
∴△PP₁O是等腰直角三角形，
①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒$\sqrt{2}$个单位长度，运动时间为t秒，则MP=$\sqrt{2}$t，
∴PH=t，
∵$\frac{MH}{4}$=$\frac{t}{4}$，$\frac{NH}{2}$=$\frac{t}{4}$，
MH=t，HN=$\frac{1}{2}$t，
∴MN=MH+HN=t+$\frac{1}{2}$t=$\frac{3}{2}$t，
∴S=$\frac{3}{4}$t²；
②当2＜t＜4时，P₁G=2t-4，P₁H=t，
∵MN∥OB
∴△P₁EF∽△P₁MN，
∴$\frac{{S}_{△{P}_{1}EF}}{{S}_{△{P}_{1}MN}}$=$（\frac{{P}_{1}G}{{P}_{1}H}）^{2}$，
∴$\frac{{S}_{△{P}_{1}EF}}{{\frac{3}{4}t}^{2}}$=（$\frac{2t-4}{t}$）²，
∴S△P1EF=3t²-12t+12，
∴S=$\frac{3}{4}$t²-（3t²-12t+12）=-$\frac{9}{4}$t²+12t-12，
∴当0＜t≤2时，S=$\frac{3}{4}$t²，
当2＜t＜4时，S=-$\frac{9}{4}$t²+12t-12．

点评 本题是一次函数的综合运用，考查了待定系数法求一次函数的解析式以及平行四边形的性质，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．