69°
分析:在BC下方取一点D,使得三角形ABD为等边三角形,连接DP、DC,根据等边三角形的性质得到AD=AB=AC,求出∠DAC、∠ACD、∠ADC的度数,根据三角形的内角和定理求出∠ABC=∠ACB=51°,即∠CDB=141°=∠BPC,再证△BDC≌△BPC,得到PC=DC,进一步得到等边△DPC,推出△APD≌△APC,根据全等三角形的性质得到∠DAP=∠CAP=9°,即可求出答案.
解答:
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201311/52857f9fb6425.png)
解:在BC下方取一点D,使得三角形ABD为等边三角形,连接DP、DC
∴AD=AB=AC,
∠DAC=∠BAC-∠BAD=18°,
∴∠ACD=∠ADC=81°,
∵AB=AC,∠BAC=78°,
∴∠ABC=∠ACB=51°,
∴∠CDB=141°=∠BPC,
又∵∠DCB=30°=∠PCB,BC=CB,
∴△BDC≌△BPC,
∴PC=DC,
又∵∠PCD=60°,
∴△DPC是等边三角形,
∴△APD≌△APC,
∴∠DAP=∠CAP=9°,
∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=9°+60°=69°.
故答案为:69°.
点评:本题主要考查对等腰三角形的性质,等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,作辅助线得到全等三角形是解此题的关键,此题是一个拔高的题目,有一点难度.