Question

（2009•晋江市质检）已知：如图，O为坐标原点，半径为4的⊙Q与y轴相切于点O，圆心Q在x轴的负半轴上．
（1）请直接写出圆心Q的坐标；
（2）设一次函数y=-2mx+2m的图象与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，且T在y轴上，OT=2，连接QT，∠OQT=∠OBA．
①求m的值；
②试问在y=-2mx+2m的图象上是否存在点P，使得⊙P与⊙Q、y轴都相切？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意易得圆心Q的坐标为（-4，0）．
（2）首先证明△QOT∽△BOA，利用线段比求出m值，
求出m值后，然后分情况讨论点P在y轴的位置（点P在y轴的左侧；点P在y轴的右侧）．
解答：解：（1）Q（-4，0）．

（2）
①如图1，∵∠OQT=∠OBA，∠QOT=∠BOA，
∴△QOT∽△BOA，
∴，
在y=-2mx+2m中，令x=0，则y=2m，OB=2m，
令y=0，则x=1，OA=1，
∴，解得m=1；
②由①得m=1，则直线AB的解析式为：y=-2x+2；
（i）若点P在y轴的左侧时，如图2，设⊙P的半径为r（r＞0），
∵点P在直线上，∴点P（-r，2r+2）
连接PQ，作PH⊥y轴于点H，作PC⊥x轴于点C，则四边形PCOH是矩形．
∴PH=CO=r，PC=2r+2，CQ=4-r，
以P为圆心，PH的长为半径作⊙P，则⊙P与⊙Q、y轴都相切．
∵⊙P与⊙Q外切，
∴PQ=r+4，
在Rt△PQC中，由勾股定理，得：PQ²=PC²+CQ²，
∴（r+4）²=（2r+2）²+（4-r）²
整理得：r²-2r+1=0，解得：r=1，
∴点P的坐标为（-1，4），
（ii）若点P在y轴的右侧时，如图3，当点P与点A重合时，显然符合题意．
在y=-2x+2中，令y=0，则x=1．
∴点P的坐标为（1，0）
综上，存在符合条件的两个点P，坐标分别为（-1，4）或（1，0）．

点评：本题考查的是一次函数与图象结合的综合应用，同时考生要注意借助辅助线的应用，难度中上．