Question

【题目】如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC边交于点E．

（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．

（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜的解集．

（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝，E点坐标为（，2）；（2）0＜x＜或x＞3；（3）当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为．

【解析】

（1）由条件可求得F点坐标为（3，1），代入函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式，再令y=2代入可求得x的值，可求得E点坐标；
（2）由（1）的条件中E、F的坐标，结合函数图象可求得答案；
（3）可用k分别表示出点E、F的坐标，从而可表示出△AEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．

（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，

∴AB＝2，BC＝3，

∵F为AB的中点，

∴点F坐标为（3，1），

∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴k＝3×1＝3，

∴反比例函数解析式为y＝，

∵点E在BC上，

∴E点纵坐标为2，

在y＝中，令y＝2，可求x＝，

∴E点坐标为（，2）；

（2）不等式ax+b＜的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，

由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为、3，

∴不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜或x＞3；

（3）由题意可知点E的纵坐标为为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴可设E（，2），F（3，），

∴AF＝，CE＝，

∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，

∴S△AEF＝AFBE＝（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，

∵﹣＜0，

∴S△AEF是关于k的开口向下的抛物线，

∴当k＝3时，S△AEF有最大值，最大值为，

即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为．