Question

（2010•芜湖）如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC=∠AEB．
（1）求证：△ADF∽△CAE；
（2）当AD=8，DC=6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知∠DFC=∠AEB，则它们的补角也相等；再由梯形的平行线得出的内错角相等，即可判定两个三角形相似．
（2）欲求梯形的面积，首先须求出BC的长，那么求出CE的长是解答此题的关键；可在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AC的长，进而可求出AF的长；然后根据（1）的相似三角形得出的对应成比例线段，求出EC的长，由此得解．
解答：（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACE；
∵∠DFC=∠AEB，∴∠DFA=∠AEC；
∴△ADF∽△CAE；

（2）解：由（1）知：△ADF∽△CAE，
∴=；
∵AD=8，DC=6，∠ADC=90°，
∴AC==10；
又F是AC的中点，∴AF=AC=5；
∴=，解得CE=；
∵E是BC的中点，
∴BC=2CE=；
∴直角梯形ABCD的面积=×（+8）×6=．
点评：此题主要考查了直角梯形的性质以及相似三角形的判定和性质．