如图1.在四边形ABCD一边AD上取一点E.连接BE.CE得到△ABE.△EBC.△EDC.若这3个三角形中有且只有两个等腰三角形.那么就称点E为四边形ABCD中AD边上的等腰分点,若这3个三角形都是等腰三角形.那么就称点E为四边形ABCD中AD边上的强等腰分点．(1)如图2.矩形ABCD中.AB=12BC．利用尺规作图画出矩形ABCD中的AD边上的强等腰分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图1，在四边形ABCD一边AD上取一点E，连接BE、CE得到△ABE、△EBC、△EDC，若这3个三角形中有且只有两个等腰三角形，那么就称点E为四边形ABCD中AD边上的等腰分点；若这3个三角形都是等腰三角形，那么就称点E为四边形ABCD中AD边上的强等腰分点．
（1）如图2，矩形ABCD中，AB=

BC．利用尺规作图画出矩形ABCD中的AD边上的强等腰分点；
（2）如图3，在?ABCD中，AD=12，CD=6，E为?ABCD中AD边上的等腰分点，且BE=BC，CE=CD，求DE的长．
（3）在?ABCD中，∠A=120°，AD=12，E为?ABCD中AD边上的等腰分点，求AB的长．（画出满足条件的示意图，并对应地直接写出答案）

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）取AD中点即可；
（2）过C作CM⊥DE于M，过B作BQ⊥CE于Q，过E作EN⊥BC于N，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（3）分为三种情况：设AB=x，分为三种情况：①当BE=BC，CE=CD时，求出DM=EM=

CD=

x，由勾股定理得出12²-（12-

x）²=

x²，求出即可；②当AB=AE=x，BE=BC=12时，过A作AQ⊥BC于Q，由勾股定理得出（

x）²+（

x+x）²=12²，求出即可；③当AB=AE=x，CD=CE=x时，得出2x=12，求出即可．

解答：解：（1）作出线段BC的垂直平分线，交AD于E，则E为所求，如图：

；

（2）

过C作CM⊥DE于M，过B作BQ⊥CE于Q，过E作EN⊥BC于N，
∵?ABCD中，AD=12，CD=6，
∴BC=AD=12，
∵E为?ABCD中AD边上的等腰分点，且BE=BC，CE=CD，
∴BE=BC=12，CE=CD=6，
∴EQ=CQ=3，
由勾股定理得：BQ=

122-32

，
在△BEC中，由三角形面积公式得：BQ×CE=BC×EN，
∴3

×6=12×EN，
∴CM=EN=

，
在△CMD中，由勾股定理得：DM=

CD2-CM2

，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DE=2DM=3；

（3）设AB=x，
分为三种情况：①当BE=BC，CE=CD时，如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°，
∴CD=CE=x，BC=AD=BE=12，∠D=180°-∠A=60°，
∴∠DCM=30°，
∴DM=EM=

CD=

x，
由勾股定理得：EN²=12²-（12-

x）²，
CM²=x²-（

x）²=

x²，
∴12²-（12-

x）²=

x²，
x=12（此时D、E重合，舍去）；
②

当AB=AE=x，BE=BC=12时，如图3，过A作AQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，
∴AQ=AB×sin60°=

x，
∴EN=

x，
在Rt△BEN中，由勾股定理得：（

x）²+（

x+x）²=12²，
解得：x=4

；
③当AB=AE=x，CD=CE=x时，
∵∠D=60°，
∴△CED是等边三角形，
∴DE=x，
∵AE+DE=12，
∴2x=12，
x=6；
④AB=AE=x，BE=CE时，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，∠ABE=∠EBC=30°
∴BQ=

AB=

x，
∴BQ+QN=

AD，即x+

x=6，解得x=4．
即AB=6或4

或4；

点评：本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，用了分类讨论思想，难度偏大．

练习册系列答案

全程测评试卷系列答案

每时每课期中期末课时单元系列答案

全优考典单元检测卷及归类总复习系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>