Question

【题目】问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）；

（1）探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：；

（2）证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角。已知，．求证：；

（3）应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5.

【解析】

（1）利用AAS证明即可；

（2）利用AAS证明即可；

（3）先利用AAS证明△ABE≌△CAF，然后求△ABD的面积即可.

解：（1）∵，，

∴

∴∠DBA＋∠BAD=90°，∠BAD＋∠FAC=90°

∴∠DBA=∠FAC

在△ABD和△CAF中，

∴

；

（2）∵，∠1＝∠EBA＋∠EAB，∠BAC=∠EAB＋∠FAC

∴∠BEA=180°－∠1=180°－∠2=∠AFC，∠EBA=∠FAC

在△ABE和△CAF中

∴.

；

（3）∵，∠1＝∠EBA＋∠EAB，∠BAC=∠EAB＋∠FAC

∴∠BEA=180°－∠1=180°－∠2=∠AFC，∠EBA=∠FAC

在△ABE和△CAF中

∴

∴△ABE的面积＝△CAF的面积

∵

∴

∴

∴.