Question

【题目】某数学活动小组在一次活动中，对一个数字问题作如下研究：

（问题发现）如图①，在等边三角形ABC中，点M是BC上任意一点，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，判断CN和AB的位置关系：　 　；

（变式探究）如图②，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC边上任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC，MA＝MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

（解决问题）如图③，在正方形ADBC中，点M为BC边上一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中心，连接CN，若正方形ADBC的边长为8，CN＝，直接写出正方形AMEF的边长．

Answer 1

【答案】【问题发现】证明见解析；

【变式探究】∠ABC＝∠ACN，理由见解析；

【解决问题】正方形AMEF的边长为10．

【解析】

【问题发现】

根据△ABC，△AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，证明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
【变式探究】根据△ABC，△AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根据相似三角形的性质得到，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN，根据相似三角形的性质即可得到结论；
【解决问题】根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得出，得到BM=2，CM=6，再根据勾股定理即可得到答案．

解：【问题发现】CN∥AB，

∵△ABC与△MN是等边三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

在△ABM与△ACN中， ，

∴△ABM≌△ACN，

∴∠B＝∠ACN＝60°，

∵∠ANC+∠ACN+∠CAN＝∠ANC+60°+∠CAN＝180°，

∴∠ANC+∠MAN+∠BAM＝∠ANC+60°+∠CAN＝∠BAN+∠ANC＝180°，

∴CN∥AB；

【变式探究】

∠ABC＝∠ACN，

理由：∵ ＝1且∠ABC＝∠AMN，

∴△ABC～△AMN，

∴ ，

∵AB＝BC，

∴∠BAC＝ ，

∵AM＝MN

∴∠MAN＝ ，

∵∠B＝∠AMN，

∴∠BAM＝∠CAN，

∴△ABM～△ACN，

∴∠ABC＝∠ACN；

【解决问题】

∵四边形ADBC，AMEF为正方形，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∠MAN＝45°，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC

即∠BAM＝∠CAN，

∵

∴ ，

∴△ABM～△ACN

∴ ，

∴

∴ ，

∴BM＝2，

∴CM＝6

在Rt△AMC，AC＝8，CM＝6，

答：正方形AMEF的边长为10．