Question

7．如图，已知一次函数y=-$\frac{4}{3}$x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B．
（1）求线段AB的长度；
（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N．
①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；
②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB的长度；
（2）①根据同角的三角函数得：tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}=\frac{EM}{AE}$=$\frac{3}{4}$，设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，得M（3x，-4x+4），证明△AHN≌△MEA，则AH=EM=3x，根据NG=OH，列式可得x的值，计算M的坐标即可；
②如图2，先计算E与G重合，易得∠QAP=∠OAB=∠DCE，所以△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：
i）当△DCE∽△QAP时，证明△ACO∽△NCE，列比例式可得CO=$\frac{16}{3}$，根据三角函数得：tan∠QNA=tan∠DNF=$\frac{DF}{NF}=\frac{AQ}{AN}$，AQ=20，则tan∠QAH=tan∠OAB=$\frac{3}{4}$=$\frac{QH}{AH}$，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，
求出x的值，得P（0，14）；
ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）．

解答 解：（1）当x=0时，y=4，
∴A（0，4），
∴OA=4，
当y=0时，-$\frac{4}{3}$x+4=0，
x=3，
∴B（3，0），
∴OB=3，
由勾股定理得：AB=5；
（2）①如图1，过N作NH⊥y轴于H，过M作ME⊥y轴于E，
tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}=\frac{EM}{AE}$=$\frac{3}{4}$，
∴设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，
∴M（3x，-4x+4），
由旋转得：AM=AN，∠MAN=90°，
∴∠EAM+∠HAN=90°，
∵∠EAM+∠AME=90°，
∴∠HAN=∠AME，
∵∠AHN=∠AEM=90°，
∴△AHN≌△MEA，
∴AH=EM=3x，
∵⊙N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NG⊥x轴，
∴NG=OH，
则5x=3x+4，
2x=4，
x=2，
∴M（6，-4）；
②如图2，由①知N（8，10），
∵AN=DN，A（0，4），
∴D（16，16），
设直线DM：y=kx+b，
把D（16，16）和M（6，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{16k+b=16}\\{6k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-16}\end{array}\right.$，
∴直线DM的解析式为：y=2x-16，
∵直线DM交x轴于E，
∴当y=0时，2x-16=0，
x=8，
∴E（8，0），
由①知：⊙N与x轴相切，切点为G，且G（8，0），
∴E与切点G重合，
∵∠QAP=∠OAB=∠DCE，
∴△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，
分两种情况：
i）当△DCE∽△QAP时，如图2，∠AQP=∠NDE，
∵∠QNA=∠DNF，
∴∠NFD=∠QAN=90°，
∵AO∥NE，
∴△ACO∽△NCE，
∴$\frac{AO}{NE}=\frac{CO}{CE}$，
∴$\frac{4}{10}=\frac{CO}{CO+8}$，
∴CO=$\frac{16}{3}$，
连接BN，
∴AB=BE=5，
∵∠BAN=∠BEN=90°，
∴∠ANB=∠ENB，
∵EN=ND，
∴∠NDE=∠NED，
∵∠CNE=∠NDE+∠NED，
∴∠ANB=∠NDE，
∴BN∥DE，
Rt△ABN中，BN=$\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
sin∠ANB=∠NDE=$\frac{AB}{BN}=\frac{NF}{DN}$，
∴$\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{NF}{10}$，
∴NF=2$\sqrt{5}$，
∴DF=4$\sqrt{5}$，
∵∠QNA=∠DNF，
∴tan∠QNA=tan∠DNF=$\frac{DF}{NF}=\frac{AQ}{AN}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{AQ}{10}$，
∴AQ=20，
∵tan∠QAH=tan∠OAB=$\frac{3}{4}$=$\frac{QH}{AH}$，
设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，
∴5x=20，
x=4，
∴QH=3x=12，AH=16，
∴Q（-12，20），
同理易得：直线NQ的解析式：y=-$\frac{1}{2}$x+14，
∴P（0，14）；
ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，
∴∠APN=∠CDE，
∵∠ANB=∠CDE，
∵AP∥NG，
∴∠APN=∠PNE，
∴∠APN=∠PNE=∠ANB，
∴B与Q重合，
∴AN=AP=10，
∴OP=AP-OA=10-4=6，
∴P（0，-6）；
综上所述，△APQ与△CDE相似时，点P的坐标的坐标（0，14）或（0，-6）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、三角形全等和相似的性质和判定、三角函数、直线与坐标轴的交点，并采用了分类讨论的思想解决问题，第（2）问中的2小问有难度，正确画出图形是关键，并确定其相似的对应关系．