Question

1．如图所示，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F为垂足，DE=BF，试说明AE与CF相等．
某合作学习小组的两名同学的解题过程如下：
学生甲：因为DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△ABF与Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，所以Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），所以AE=FC（全等三角形的对应边相等）．
学生乙：因为DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=BA}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，所以Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），所以EC=FA（全等三角形的对应边相等），所以EC-EF=AF-EF，即CF=AE，请你分析以上两种解答过程，判断谁对谁错，并指出错误的原因．

Answer 1

分析 认真审题可以发现，题目提供的条件是两个三角形都是直角三角形，而且知道，这两个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，所以可以根据“HL”定理判定这两个直角三角形全等，然后得出EC=FA，据此对甲、乙两个学生的解答思路进行分析即可．

解答 解：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠BFA=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=BA}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴EC=FA，
∴EC-EF=AF-EF，
即CF=AE，
由上可知，学生乙的解答过程正确，
学生甲的解答过程错误，
错误有两个，
①在Rt△ABF与Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{DE=BF}\end{array}\right.$应改为$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
②由Rt△ABF≌Rt△CDE得到的直接结果是：EC=FA．

点评 本题主要考查了直角三角形的判定定理，即：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等，注意总结．