Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-$\frac{3}{2}$且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，若△PAC的面积等于△AOC的面积，求出点P的坐标，此时△PAC与△AOC这两个三角形是否全等？并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①先求出点A坐标，根据A、B关于对称轴对称可以求出点B坐标．②设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-1），把C（0，2）代入即可解决问题．
（2）如图1中，作点O关于直线AC的对称点O′，过点O′作AC的平行线交抛物线于点P，点P就是所求的点．
（3）存在．如图2中，在y轴上取E（0，8），H（0，-2），F（0，-8）．作直线AE、AH、AF分别与抛物线交于点M₁、M₂、M₃．首先证明△ACB是直角三角形，再证明点M₁、M₂、M₃就是满足条件的点．利用方程组求出交点坐标即可．

解答 解：（1）①∵直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴C（0，2），A（-4，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-$\frac{3}{2}$，
∴A、B关于x=-$\frac{3}{2}$对称，
∴点B坐标（1，0）．
②设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-1），把C（0，2）代入得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1）=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．

（2）如图1中，作点O关于直线AC的对称点O′，过点O′作AC的平行线交抛物线于点P，点P就是所求的点．

∵OO′⊥AC，
∴直线OO′的解析式为y=-2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AC与OO′的交点K的坐标（-$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∴点O′坐标（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
∴过点O′与直线AC平行的直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（-2，3）．
此时△PAC与△AOC不全等．
理由：∵PA²+PC²=18，AC²=20，
∴PA²+PC²≠AC²，
∴△PAC不是直角三角形，
∴△PAC与△AOC不全等．

（3）存在．
理由：如图2中，在y轴上取E（0，8），H（0，-2），F（0，-8）．作直线AE、AH、AF分别与抛物线交于点M₁、M₂、M₃．

∵OC=2，OA=4，OB=1，
∴OC²=OA•OB，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$，∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠OCB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∵AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=2BC，
∵EO=2OA，
∴$\frac{AO}{EO}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{AO}{BC}$=$\frac{EO}{AC}$，∵∠AOE=∠ACB=90°，
∴△AOE∽△BCA，
∵M₁N₁∥OE，
∴△M₁N₁A∽△EOA∽△ACB，
∴点M₁满足条件，同理可证M₂、M₃也是满足条件的点．
∵直线AE解析式为y=2x+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+8}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点M₁（-3，2）．
直线AH解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴点M₂坐标（2，-3）．
直线AF解析式为y=-2x-8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-8}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=18}\end{array}\right.$，
∴点M₃坐标（5，18），
当点M与C重合时，△AMN与△ABC相似，此时M₄（0，2）．
综上所述，满足条件的点M坐标为（-3，2）或（2，-3）或（5，18）或（0，2）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、相似三角形的判定和性质、两直线平行或垂直的条件等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，问题（3）的突破点是发现△ABC是直角三角形，题目比较难，属于中考压轴题．