Question

15．已知：平行四边形ABCD，点E在AD上，且BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，tan∠EBC=$\frac{1}{2}$，BE=4，则△CDE的面积为$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 过点E作EF⊥BC于点F，根据tan∠EBC=$\frac{1}{2}$可设EF=x，BF=2x，根据勾股定理求出x的值，进而得出EF、BF的长，由平行四边形的性质判断出△BCE是直角三角形，故可得出△BEF∽△ECF，由相似三角形的对应边成比例求出CF的长，故可得出AD的长，再由等腰三角形的判定定理得出AB=AE，CD=DE，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：过点E作EF⊥BC于点F，
∵tan∠EBC=$\frac{1}{2}$，
∴设EF=x，BF=2x，
∵BE=4，
∴x²+4x²=16，解得x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC+∠BCE=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BCD）=90°，
∴△BCE是直角三角形．
∵∠BEF+∠CEF=90°，∠AEF+∠EBF=90°，
∴∠EBF=∠CEF，∠BEC=∠EFC，
∴△BEF∽△ECF，
∴$\frac{CF}{EF}$=$\frac{EF}{BF}$，即$\frac{CF}{\frac{4\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$，解得CF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE=∠EBF，∠DCE=∠BCE．
∵AD∥BC，
∴∠EBF=∠AEB，∠BCE=∠DEC，
∴∠ABE=∠AEB，∠DEC=∠DCE，
∴AB=AE，CD=DE．
∵AB=CD，
∴AE=DE，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$DE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6}{5}$．
故答案为：$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查的是平行四边形的性质，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义及勾股定理求解是解答此题的关键．