Question

5．若抛物线y=x²-4x+2-t（t为实数）在0＜x＜$\frac{5}{2}$的范围内与x轴有公共点，则t的取值范围为（　　）

• A． -2＜t＜2
• B． -2≤t＜2
• C． -$\frac{7}{4}$＜t＜2
• D． t≥-2

Answer 1

分析 先利用配方法得到抛物线的顶点为（2，-t），再分类讨论：当抛物线与x轴的公共点为顶点时，-t=0，解得t=0；当抛物线在0＜x＜3的范围内与x轴有公共点，如图，顶点在x轴下方，所以t＞0，当抛物线在原点与对称轴之间与x轴有交点时，x=0，y＞0，所以4-t＞0，解得t＜4；当抛物线在（3，0）与对称轴之间与x轴有交点时x=3，y＞0，即1-t＞0，解得t＜1，所以此时t的范围为0＜t＜4，综上两种情况即可得到t的范围为0≤t＜4．

解答 解：y=x²-4x+2-t=（x-2）²-2-t，
抛物线的顶点为（2，-2-t），
当抛物线与x轴的公共点为顶点时，-2-t=0，解得t=-2，
当抛物线在0＜x＜$\frac{5}{2}$的范围内与x轴有公共点，
如图，-t-2＜0，解得t＞-2，则x=0时，y＞0，即2-t＞0，解得t＜2；
当x=$\frac{5}{2}$时，y＞0，即-$\frac{7}{4}$-t＞0，解得t＜-$\frac{7}{4}$，此时t的范围为t＜-$\frac{7}{4}$，
综上所述，t的范围为-2≤t＜2．
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．运用数形结合的思想是解决本题的关键．