Question

如图，直线y=-

3

4

x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=

5

4

x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标．
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式．并求出中S的最大值．
（3）当t＞0时，直接写出点（5，3）在正方形PQMN内部时t的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先根据题意求得A，B，C，D的坐标，然后过点C作CH⊥AD，易得△CPQ∽△CAD，由相似三角形的性质，即可求得PQ的值，则可求得S与t之间的函数关系式；
（2）配方，即可求得二次函数的最大值，即是S的最大值；
（3）当PQ过点（5，3）时，t最小；当N与（5，3）重合时，t最大，根据题意求解即可．

解答：解：（1）由题意，得

y=- 3 4 x+6 y= 5 4 x

解得：

x=3 y= 15 4

∴C（3，

15

4

）；

（2）根据题意得：AE=t，OE=OA-EA=8-t
∴点Q的纵坐标为

5

4

（8-t），点P的纵坐标为-

3

4

（8-t）+6=

3

4

t
∴PQ=

5

4

（8-t）+6=

3

4

t
当MN在AD上时，10-2t=t，
∴t=

10

3

；当0＜t≤

10

3

时，
S=AE×PQ=t（10-2t），
即S=-2t²+10t
当

10

3

≤t＜5时，
S=PQ²=（10-2t）²，
即S=4t²-40t+100
当0＜t≤

10

3

时，
S=-2（t-

5

2

）²+

25

2

∴当t=

5

2

时，
S_最大值=

25

2

当

10

3

≤t＜5时，S=4（t-5）²，
∵t＜5时，S随t的增大而减小，
∴t=

10

3

时，S_最大值=

100

9

∵

25

2

＞

100

9

，
∴S的最大值为

25

2

．

（3）当t=5时，PQ=0，P，Q，C三点重合；
当t＜5时，知OE=4时是临界条件，即8-t=4
即t=4
∴点Q的纵坐标为5＞3，
点（5，3）在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点（5，3）进入正方形内部，但点Q的纵坐标再减少，当Q点的纵坐标为3时，OE=4
∴8-t=4
即t=4，
此时OE+PN=4+PQ=4+（10-2t）=6＞3满足条件，
∴3＜t＜4，
当t＞5时，由图和条件知，则有E（t-8，0），PQ=2t-10要满足点（5，3）在正方形的内部，
则临界条件N点横坐标为4?4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=7，此时Q点的纵坐标为：-

3

4

×2+7=

22

4

．满足条件，
∴t＞7．
综上所述：3＜t＜4或t＞7时，点（5，3）都在正方形的内部．

点评：此题考查了一次函数的综合应用，考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用．