Question

已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，交半圆O于点E，且E为的中点．

(1)求证：AC是半圆O的切线；
(2)若AD=6，AE=6，求BC的长．

Answer 1

(1)可证明∠AEO=∠C=90°．即DE⊥AC．又OE为半圆O的半径，
∴AC是半圆O的切线．(2)BC=4．

试题分析：解：(1)连接OE。

∵E为的中点，
∴=．
∴∠OBE=∠CBE．
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE．
∴∠OEB=∠CBE．
∴OE∥BC．
∵BC⊥AC，∴∠C=90°.
∴∠AEO=∠C=90°．即DE⊥AC．
又OE为半圆O的半径，
∴AC是半圆O的切线．
(2)设⊙O的半径为x
∵OE⊥AC，
∴(x+6)²-(6)²=x²．
∴x=3．
∴AB=AD+OD+OB=12．
∵OE∥BC，
∴△AOE～△ABC．
∴=
即=
∴BC=4．。
点评：本题难度较低，主要考查学生对圆的切线性质与相似三角形知识点的掌握。为中考常考题型，要求学生牢固掌握。