Question

13．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形OAB的顶点O在坐标原点，A（2，0），B（0，2$\sqrt{3}$），将△OAB沿y轴翻折，得△OCB．
（1）求OCB的度数；
（2）动点P在线段CA上从点C向点A运动，PD⊥BC于点D，把△PCD沿y轴翻折，得△QAE，设△ABC被△PCD和△QAE盖住部分的面积为S₁，未被盖住的部分的面积为S₂．
①设CP=a（a＞0），用含a的代数式分别表示S₁，S₂；
②直接写出当S₁=S₂时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，根据三角函数的定义得到∠OAB=60°，根据轴对称的性质即可得到结论；
（2）①根据轴对称的性质得到∠BOC=∠BOA=90°，当点P在线段CO上时，0∠a≤2，当点P在线段OA上时，如图2，2＜a≤4，解直角三角形得到DP=CP•cos∠CPD=CP•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，根据三角形的面积得到S_△PCD=$\frac{1}{2}$CD•PD=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²，根据轴对称的性质得到S_△QAE=S_△PCD=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²；于是得到结论；②当点P在CO上时，0＜a≤2．当点P在OD上时，2＜a≤4．根据已知条件列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵A（2，0），B（0，2$\sqrt{3}$），
∴OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴∠OAB=60°，
∵将△OAB沿y轴翻折得到△OCB，
∴∠OCB=∠OAB=60°；

（2）①∵将△OAB沿y轴翻折得到△OCB，
∴∠BOC=∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠BOA=180°，
∴点C，O，A在一条直线上，
当点P在线段CO上时，0∠a≤2，
在Rt△PCD中，∵∠OCB=60°，
∴∠CPD=30°，
∵CP=a，
∴CD=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$a，
∵cos∠CPD=$\frac{DP}{CP}$，
∴DP=CP•cos∠CPD=CP•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$CD•PD=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²，
∵把△PCD沿y轴翻折，得△QAE，
∴S_△QAE=S_△PCD=$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²；
∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}×$4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴S₂=S_△ABC-S₁=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²；
当点P在线段OA上时，如图2，2＜a≤4，
折DP与y轴的交点为F，
∵OP=CP-OC=a-2，
在Rt△OFP中，tan∠FPO=$\frac{OF}{OP}$，
∴OF=OP•tan∠FPO
=（a-2）tan30°
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a-2），
∴S_△OPF=$\frac{1}{2}$OP•OF=$\frac{1}{2}$（a-2）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a-2）=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（a-2）²，
∴S₁=2S_△PCD-2S_△OPF=2×$\frac{\sqrt{3}}{8}$a²-2×$\frac{\sqrt{3}}{6}$（a-2）²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a-2）²，
∴S₂=S_△ABCS₁=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a-2）²=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$；
②当点P在CO上时，0＜a≤2．
∵S₁=S₂，S₁+S₂=4$\sqrt{3}$，
∴S₁=2$\sqrt{3}$，
∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=2$\sqrt{3}$．
解得：a₁=2$\sqrt{2}$，a₂=-2$\sqrt{2}$．
∵2$\sqrt{2}$＞2，-2$\sqrt{2}$＜0，
∴当点P在BO上时，S₁=S₂的情况不存在．
当点P在OD上时，2＜a≤4．
∵S₁=S₂，S₁+S₂=4$\sqrt{3}$，
∴S₂=2$\sqrt{3}$，
∴S₂=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
解得：a₁=8+2$\sqrt{6}$，a₂=8-2$\sqrt{6}$．
∵8+2$\sqrt{6}$＞4，2＜8-2$\sqrt{6}$＜4，
∴a=8-2$\sqrt{6}$，
综上所述：若S₁=S₂，则a的值为8-2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了及轴对称图形的相关知识，特殊角的三角函数值等知识，三角形的面积的计算，还考查了分类讨论的思想．