Question

25、如图，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B，AC、AD分别是两圆的直径，
（1）C、B、D三点在同一直线吗？为什么？
（2）当⊙O₁和⊙O₂满足什么条件时，所得图中的△ACD是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）连接AB、BC、BD，由于AC、AD都是直径，由圆周角定理易知∠ABC=∠ABD=90°，则∠ABC与∠ABD互补，由此可证得B、C、D三点共线；
（2）若△ACD是等腰三角形，则有三种情况：
①AC=AD，此时两圆的直径相等；
②AC=CD，若连接CO₂，根据等腰三角形三线合一的性质得CO₂⊥AD，那么此时点O₂应在⊙O₁上；
③AD=CD，同②．

解答：解：（1）连接AB、BC、BD
∵AC、AD是⊙O₁和⊙O₂的直径
∴∠ABC=90°，∠ABD=90°（2分）
∴∠CBD=∠ABC+∠ABD=180°（3分）
∴C、B、D三点在同一条直线上；（4分）

（2）①当⊙O₁与⊙O₂的直径相等，即AC=AD时所得图中的△ACD是等腰三角形；
②当O₂在⊙O₁上时，
连接CO₂∵AC是⊙O₁的直径，∴∠AO₂C=90°
∴CO₂⊥AD（5分）
又O₂A=O₂D
∴CA=CD（6分）
于是当O₂在⊙O₁上时，△ACD是等腰三角形；
③同②当O₁在⊙O₂上时，可得DA=DC，所得图中的△ACD是等腰三角形．（8分）

点评：此题主要考查了圆周角定理及等腰三角形的判定和性质，需注意的是（2）在判定△ACD是等腰三角形的过程中，存在多种情况，需要分类讨论，不要漏解．