Question

11．如图，把矩形纸片ABCD进行折叠，已知该纸片的长BC为10cm，宽AB为6cm．
（1）若折叠后C点和点A重合，折痕交边BC，AD分别于点E，F，如图1，求证：四边形AECF为菱形；
（2）若折叠后C点落在边AD上的N点处，折痕为BM（M为折痕与CD边的交点），如图2，求CM的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，再利用AD∥AC得到∠FAC=∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF=OE，加上OA=OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；
（2）在Rt△BAN中，根据勾股定理可求AN，进一步得到DN，再在Rt△MDN中，根据勾股定理可求CM的长．

解答 （1）证明：如图1，
∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC=∠ECA，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；

（2）解：在Rt△BAN中，AN=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8cm，
DN=10-8=2cm，
在Rt△MDN中，
CM²=2²+（6-CM）²，
解得CM=$\frac{10}{3}$．
故CM的长是$\frac{10}{3}$cm．

点评 本题考查了菱形的判定与性质：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．也考查了折叠的性质，矩形的性质和勾股定理．