Question

【题目】如图（1），△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE．

（1）求证：∠A＝∠CED；

（2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．

①求∠DHF的度数；

②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）①60°②见解析

【解析】

（1）由“SAS”可证△ABC≌△EDC，可得∠A＝∠CED；

（2）①由“SAS”可证△CDG≌△CBF，可得∠CBF＝∠CDG，再利用三角形的内角和定理，得∠CBF＋∠BCF＝∠CDG＋∠DHF，又∠ACB＝60°，即可出∠DHF＝∠ACB＝60°，从而问题得以解决；②由三角形的内角和可得∠1＋∠4＝60°，因为∠1＝∠2，只要证出∠1＋∠3＝60°，用三角形的外角以及等量代换可以证出，进而得到BE平分∠ABC．

证明：（1）∵CA平分∠BCE

∴∠ACB＝∠ACE，

∵AC＝CE，BC＝DC

∴△ABC≌△EDC（SAS）

∴∠A＝∠CED

（2）①∵∠ACB=∠ACE＝60°，CF＝CG，BC＝CD

∴△CDG≌△CBF（SAS）

∴∠CDG＝∠CBF，

∵∠BFC＝∠DFH

∴∠DHF＝∠BCF＝60°

②由（1）得△ABC≌△EDC

∴∠ABC＝∠EDC

∵∠ACB＝∠DCE＝60°

∴∠2＋∠4＝60°

又∵∠DFH＝∠A＋∠3＝∠2＋∠FCG

∵∠A＝∠DEC＝2∠1＝2∠2，

∴2∠1＋∠3＝∠2＋60°

∴∠1＋∠3＝60°

∴∠3＝∠4

即BE平分∠ABC