Question

4．设a是方程x²-$\sqrt{2018}$x-1=0的一个根，则a³-$\frac{1}{{a}^{3}}$的值是2022$\sqrt{2018}$．

Answer 1

分析 先利用一元二次方程的定义得到a²-$\sqrt{2018}$a-1=0，则a-$\frac{1}{a}$=$\sqrt{2018}$，再利用立方差公式和完全平方公式得到a³-$\frac{1}{{a}^{3}}$=（a-$\frac{1}{a}$）（a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）=（a-$\frac{1}{a}$）[（a-$\frac{1}{a}$）²+3]，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：∵a是方程x²-$\sqrt{2018}$x-1=0的一个根，
∴a²-$\sqrt{2018}$a-1=0，
∴a-$\sqrt{2018}$-$\frac{1}{a}$=0，
∴a-$\frac{1}{a}$=$\sqrt{2018}$，
∴a³-$\frac{1}{{a}^{3}}$=（a-$\frac{1}{a}$）（a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）=（a-$\frac{1}{a}$）[（a-$\frac{1}{a}$）²+3]=$\sqrt{2018}$（2018+3）=2022$\sqrt{2018}$．
故答案为2022$\sqrt{2018}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．