Question

如图△ABC中，AB=AC，∠A=120°

（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC，AB于点M，N（保留痕迹，不写作法）
（2）猜想CM与BM有何数量关系，并证明你的猜想。

Answer 1

（1）

（2）连接AM，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，而MN⊥AB，∴BM:BN=2:，MN为AB垂直平分线，∴AB=2BN，AM=BM，所以AB=BM，∠BAM=∠B=30°，又∠B=∠B，∴△ABC∽△MBA，∴BM:AB=AB:BC，又BC=BM+CM，化简得CM=2BM。

试题分析：（1）直线的垂直平分线做法，用圆规在A点固定，并且圆规脚之间的距离应该大于AB点距离的一半，分别在AB的上方和下方各画一道弧，同样的方法，在B点固定，画出上下方各一道弧，通过两组弧所成的直线即为AB的垂直平分线。（2）这道题通过线求出直角三角形中有一个角为30°，进而推导出斜边与30度角所对应边的两倍关系，从而可以求出BM与AB的关系，接着又证明两个三角形相似，从而按照相似三角形对应边成比例的性质，求出BM与CM的关系。
点评：（1）尺规作图一直是考试的考点之一，需要记住如垂直平分线、角平分线等一些常用的尺规作图题型。（2）解答这类题时，首先要先看看是否需要画辅助线，接着，由直角三角形以及30度角，可以判断出这类直角三角形的特殊性，从而分析各边的关系。接着又由相似三角形各边的比例关系，以及各边的比值关系，进而推导出其函数关系值。