Question

18．已知直线L经过点A（-2，0），B（0，3）
（1）求直线L的解析式．
（2）在x轴上有一点P，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），把A、B两点的坐标代入函数解析式，就可得到一个关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，从而得到解析式；
（2）由条件可求得AB=$\sqrt{13}$，设P点坐标为（x，0），则AP=|x+2|，|BP|=$\sqrt{{3}^{2}{+x}^{2}}$分三种情况，即AB=AP，AB=BP和AP=BP进行分别计算求解x即可．

解答 解：（1）设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
由题意可得方程组$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{\;}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{\;}\\{b=3}\end{array}\right.$，
该直线的函数解析式为y=$\frac{3}{2}$x+3；

（2）∵A（-2，0），B（0，3），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
设P点坐标为（x，0），则AP=|x+2|，BP=$\sqrt{{3}^{2}{+x}^{2}}$，
当AP=BP时，则有|x+2|=$\sqrt{9{+x}^{2}}$，解得x=$\frac{5}{4}$，此时P点坐标为（$\frac{5}{4}$，0）；
当AB=BP时，则有$\sqrt{9{+x}^{2}}$=$\sqrt{13}$，解得x=±2，当x=-2时，点P与A点重合（舍去），
所以此时P点坐标为（2，0）；
当AB=AP时，则有|x+2|=$\sqrt{13}$，解得x=-2$±\sqrt{13}$，此时P点坐标为（-2$+\sqrt{13}$，0）或（$-2-\sqrt{13}$，0）；
综上可知P点坐标为（$\frac{5}{4}$，0）或（2，0）或（-2$+\sqrt{13}$，0）或（$-2-\sqrt{13}$，0）．

点评 本题主要考查等腰三角形的判定，设出P点的坐标表示出AB、AP、BP三边的长度是解题的关键，注意分类讨论．