Question

（2012•荆州模拟）某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）．
（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价-成本）
（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？

Answer 1

分析：（1）从图易知3月份每件商品售价6元，成本1元，易求利润；
（2）根据图象特征抛物线的顶点为（6，4），可设抛物线的解析式为Q=a（t-6）²+4，将点（3，1）代入可得出函数解析式．
（3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润．

解答：解：（1）由图象知：3月份每件商品售价6元，成本1元，
故可得，一件商品在3月份出售时的利润为5元．

（2）由图知，抛物线的顶点为（6，4），
故可设抛物线的解析式为Q=a（t-6）²+4．
∵抛物线过（3，1）点，
∴a（3-6）²+4=1．
解得a=-

1

3

．
故抛物线的解析式为Q=-

1

3

（t-6）²+4，
即Q=-

1

3

t2+4t-8，其中t=3，4，5，6，7．

（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b．
∵线段经过（3，6）、（6，8）两点，
∴

3k+b=6 6k+b=8.

解得

k= 2 3 b=4.

∴M=

2

3

t+4，其中t=3，4，5，6，7．
故可得：一件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为：W=M-Q=(

2

3

t+4)-(-

1

3

t2+4t-8)=

1

3

t2-

10

3

t+12．
即W=

1

3

(t-5)2+

11

3

，
其中t=3，4，5，6，7．
当t=5时，W有最小值为

11

3

元，
即30000件商品一个月内售完至少获利30000×

11

3

=110000（元）．
答：该公司一个月内至少获利110000元．

点评：此题考查了二次函数的应用，及待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第3个问题：表示利润，注意配方法求二次函数最值的应用，难度较大．