Question

阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：

x-1

x

-

4x

x-1

=0．
解：设y=

x-1

x

，则原方程化为：y-

4

y

=0，方程两边同时乘以y得：y²-4=0，
解得：y=±2，
经检验：y=±2都是方程y-

4

y

=0的解，∴当y=2时，

x-1

x

=2，解得：x=-1，
当y=-2时，

x-1

x

=-2，解得：x=

1

3

，经检验：x=-1或x=

1

3

都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-1或 x=

1

3

．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程

x-1

4x

-

x

x-1

=0中，设y=

x-1

x

，则原方程可化为：

 

；
（2）若在方程

x-1

x+1

-

4x+4

x-1

=0中，设y=

x-1

x+1

，则原方程可化为：

 

；
（3）模仿上述换元法解方程：

x-1

x+2

-

3

x-1

-1=0．

Answer 1

考点：换元法解分式方程

专题：阅读型

分析：（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y=

x-1

x+2

，将原方程化为y-

1

y

=0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．

解答：解：（1）将y=

x-1

x

代入原方程，则原方程化为

y

4

-

1

y

=0；
（2）将y=

x-1

x+1

代入方程，则原方程可化为y-

4

y

=0；
（3）原方程化为：

x-1

x+2

-

x+2

x-1

=0，
设y=

x-1

x+2

，则原方程化为：y-

1

y

=0，
方程两边同时乘以y得：y²-1=0
解得：y=±1，
经检验：y=±1都是方程y-

1

y

=0的解．
当y=1时，

x-1

x+2

=1，该方程无解；
当y=-1时，

x-1

x+2

=-1，解得：x=-

1

2

；
经检验：x=-

1

2

是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-

1

2

．

点评：本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度．