Question

如图，半径为6.5的⊙O′经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）求A、B两点的距离；
（2）求点A和点B的坐标；
（3）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，当OC²=CD•BC时，求点C的坐标；
（4）在⊙O′上是否存在点P，使△ABD的面积等于△POD的面积，即S_△ABD=S_△POD？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

Answer 1

分析：（1）由于∠BOA=90°，根据圆周角定理可知：AB的长即为圆的直径；
（2）可在直角三角形OBA中，根据勾股定理和韦达定理来求出OA，OB的长；
（3）已知了OC²=CD•BC，那么三角形OCD和BCO相似，因此∠OBC=∠DOC，此时可得出弧OC=弧CA，即C是劣弧OA的中点，如果连接O′C，根据垂径定理可得出O′C垂直平分OA，由此可求出C点的坐标；
（4）如果设O′C和OA的交点为E，可根据相似三角形OBD和ECD求出OD的长，那么如果S_△ABD=S_△POD，可据此求出三角形POD中OD边上的高，然后同圆O′中点到x轴的最大距离进行比较即可得出P是否在圆上．

解答：解：（1）连接AB．
∵∠BOA=90°，
∴AB是⊙的直径．
∴AB=13；

（2）∵OA²+OB²=AB²
即（OA+OB）²-2OA•OB=169
又∵OA、OB是方程x²+kx+60=0的两根
∴OA+OB=-k，OA•OB=60
∴k²-120=169．
∴k=17，k=-17．
∵OA+OB=-k＞0，
∴k＜0，
∴k=-17．
方程是x²-17x+60=0解出x=12，x=5．
∵OA＞OB，
∴OA=12，OB=5；

（3）连接O′C，交AO于E
由OC²=CD•CB，得

OC

CD

=

CB

OC

．
又∵∠OCB=∠DCO，
∴△OCB∽△DCO．
∴∠COD=∠CBO，
∴弧AC=弧OC，O′C⊥OA．
∴OE=AE=6，CE=O′C-O′E=O′C-

1

2

OB=-4．
∴C点坐标是（6，-4）；

（4）假定在⊙上存在点P，使S_△ABD=S_△POD．
∵OB∥EC
∴△OBD∽△ECD
∴

OB

EC

=

OD

ED

即

5

4

=

OD

6-OD

解得OD=

10

3

．
∴S_△ABD=

1

2

AD•BO=

65

3

，
∴S_△POD=

65

3

在中，OD边上的高为13，即点P到x轴的距离为13，
∵⊙上的点到x轴的最大距离为9，
∴点P不在⊙上，
故在⊙上不存在点P，使S_△ABD=S_△POD．

点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，二次函数解析式的确定、图形的面积求法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力．