Question

如图，把抛物线y=

1

2

x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=

1

2

x2交于点Q，
（1）求抛物线m的解析式．
（2）求图中阴影部分的面积．
（3）若点B（-2，n）是抛物线m上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点D，使得△BDO的周长最小？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）首先求出P点以及Q点坐标，进而得出S_阴影部分=S_△POQ，即可得出答案；
（3）利用轴对称最短路线性质求出D点位置，进而求出直线AB与直线x=-3的交点，进而得出答案．

解答：解：（1）设平移后的抛物线m的解析式为：y=

1

2

x²+bx+c，它经过点A（-6，0）和
原点O（0，0），代入求出解析式得：

1 2 ×(-6)2-6b+c=0 c=0

，
解得：

b=3 c=0

，
∴抛物线m的解析式为：y=

1

2

x²+3x；

（2）∵y=

1

2

x²+3x=

1

2

（x+3）²-

9

2

，
∴顶点P（-3，-

9

2

），
当x=-3时，y=

1

2

×3²=

9

2

，
Q的坐标为：（-3，

9

2

），故P，Q点它们关于x轴对称，
S_阴影部分=S_△POQ=

3×9

2

=

27

2

．

（3）把B（-2，n）代入抛物线解析式y=

1

2

x²+3x，
得：n=

1

2

×（-2）²+3×（-2），故n=-4，
设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（-6，0）和B（-2，-4）代入，
得：

-6k+b=0 -2k+b=-4

，
解得：

k=-1 b=-6

所以直线AB解析式是：y=-x-6，
∵A，O点关于直线x=-3对称，故直线AB与直线x=-3的交点即为D点，此时使得△BDO的周长最小，
当x=-3时，y=-3，
所以D（-3，-3）．

点评：此题主要考查了待定系数法求函数解析式以及配方法求二次函数顶点坐标以及二次函数对称性等知识，得出D点位置是解题关键．