Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4

2

，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
（1）当x的值为______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

Answer 1

（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
则四边形AMND是矩形，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=4

2

，∠C=45°，
∴DN=CN=CD•sin∠C=4

2

×

2

2

=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，
则∠APC=90°或∠DEB=90°，
当∠APC=90°时，
∴P与M重合，
∴BP=BM=3；
当∠DPB=90°时，P与N重合，
∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，
有两种情况：①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（3）由（2）知，①当BP=1时，此时CN=DN=4，NE=6-4=2，
∴DE=

DN2+NE2

=

42+22

=2

5

≠AD，故不能构成菱形．
②当BP′=11时，以点P′、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
∴EP′=AD=5，
过D作DN⊥BC于N，
∵CD=4

2

，∠C=45°，
则DN=CN=4，
∴NP′=BP′-BN=BP′-（BC-CN）=11-12+4=3．
∴DP′=

DN2+NP2

=

42+32

=5，
∴EP′=DP′，
故此时?P′DAE是菱形．
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形；