Question

已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点．AD=BD，DE=DC，
求证：（1）∠1=∠C．（2）BE⊥AC．

Answer 1

证明：（1）∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD=BD，DE=DC，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∵，
∴△BDE≌△ADC，
∴∠1=∠C；

（2）先延长BE交AC上一点F，
∵△BDE≌△ADC，
∴∠DBE=∠CAD，
∵∠CAD+∠C=90°，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠BFC=90°
∴BF⊥AC，
∴BE⊥AC．
分析：（1）先根据AD是△ABC的高，得出∠ADB=∠ADC=90°，再根据AD=BD，DE=DC得出△BDE≌△ADC，即可证出∠1=∠C．
（2）由（1）可知△BDE≌△ADC，得出∠DBE=∠CAD，再根据∠CAD+∠C=90°，得出∠CBF+∠C=90°，从而得出∠BFC=90°，即可证出BE⊥AC．
点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，解题的关键在于根据∠ABD=∠BAD推出AD=BD，推出△BDE≌△ADC，是一道基础题．