Question

11．已知a+$\frac{1}{a}$=$\sqrt{10}$，则a²-$\frac{1}{{a}^{2}}$的值为（　　）

• A． ±4$\sqrt{3}$
• B． 8
• C． ±2$\sqrt{15}$
• D． 6

Answer 1

分析 将原式两边平方可得a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=8，继而求得a-$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{6}$，再代入a²-$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{1}{a}$）（a-$\frac{1}{a}$）可得答案．

解答 解：∵a+$\frac{1}{a}$=$\sqrt{10}$，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²=10，即a²+2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=10，
∴a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=8，
∴a²-2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=6，即（a-$\frac{1}{a}$）²=6，
则a-$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{6}$，
∴a²-$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a+$\frac{1}{a}$）（a-$\frac{1}{a}$）=±$\sqrt{6}$×$\sqrt{10}$=±2$\sqrt{15}$，
故选：C．

点评 本题主要考查分式的加减法和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．