Question

12．如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC动点，△DMN为等边三角形
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接DE、DF，根据等边三角形的性质得到∠MDF=∠NDE，证明△DMF≌△DNE，根据全等三角形的性质证明；
（2）与（1）的方法相同；
（3）根据题意画出图形，证明△DMF≌△DNE，根据全等三角形的性质证明．

解答 解：（1）EN与MF相等，
证明：连接DE、DF，
∵△ABC和△DMN为等边三角形，
∴DM=DN，∠MDN=60°，
∵点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠MDF=∠NDE，
在△DMF和△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{∠MDF=∠NDE}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△DNE，
∴EN=MF；

（2）成立，
证明：连结DE，DF，EF．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．
∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF和△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DE}\\{∠MDF=∠NDE}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△DNE，
∴MF=NE；

（3）画出图形如图③所示：
MF与EN相等的结论仍然成立．
由（2）得，△DMF≌△DNE，
∴MF=NE．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．