Question

已知抛物线y=x²-4x+3与x轴交于两点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C．
（1）对于任意实数m，点M（m，-3）是否在该抛物线上？请说明理由；
（2）求∠ABC的度数；
（3）若点P在抛物线上，且使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形，试求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点M的坐标代入解析式，运用反证法就可以证明出结论．
（2）由抛物线的解析式可以求出OC、OB的值，得出OC=OB，由△BOC是直角三角形，就可以求出∠ABC=45°．
（3）由BC是直角边，当∠PBC=90°时可以求出此时P的值，当∠PCB=90°时，可以求出P1C的解析式，根据抛物线与直线的交点坐标而求出此时P₁的坐标．

解答：解：（1）假如点M（m，-3）是在该抛物线上，
∴-3=m²-4m+3，
∴m²-4m+6=0．
∴△=（-4）²-4×1×6=-8＜0，
∴此方程无实数解，
∴对于任意实数m，点M（m，-3）是不在该抛物线上．

（2）当y=0时，x²-4x+3=0，
∴x₁=1，x₂=3，由于点A在点B的左侧，
∴A（1，0），B（3，0）．
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴OB=OC=3．
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
即∠ABC=45°．

（3）假设存在△PBC是以BC为直角边的直角三角形．当∠PBC=90°时，∵∠ABC=45°，
∴∠PBO=45°，
∴P（2，-1）；
当∠PCB=90°时，设直线PC交x轴于Q，
∵∠ABC=45°，
∴∠BQC=45°，
∴OQ=OC=3，Q（-3，0），
设直线PC的解析式为y=kx+b，则，

3=b 0=-3k+b

，
∴

k=1 b=3

，
∴直线的解析式为：y=x+3．
∵点P在抛物线上，
∴

y=x+3 y=x2-4x+3

，
解得．x₁=0（舍去），x₂=5
∴当x=5时，y=8，此时P₁（5，8）
∴存在点P（2，-1）或（5，8）使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式的运用，根的判别式的运用，直角三角形的性质及运用．