Question

【题目】如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一点A（1，2），AB∥x轴且AB＝6，点C在线段AB的垂直平分线上，且AC＝5，将抛物线y＝ax2（a＞0）的对称轴右侧的图象记作G．

（1）若G经过C点，求抛物线的解析式；

（2）若G与△ABC有交点．

①求a的取值范围；②当0＜y≤8时，双曲线经过G上一点，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②k的最大值为112．

【解析】

（1）如图1中，作CH⊥AB于H．求出点C坐标即可解决问题；

（2）①当抛物线经过点A时，a＝2，当抛物线经过点B时，2＝49a，可得a＝，由此即可解决问题；

②由题意当a＝时，y＝x2，当y＝8时，8＝x2，因为x＞0，推出x＝14，由题意当反比例函数y＝经过点（14，8）时k的值最大；

解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．

∵CA＝CB＝5，CH⊥AB，

∴AH＝HB＝3，

在Rt△ACH中，CH＝＝4，

∴C（4，6），

∵抛物线y＝ax2（a＞0）经过C点，

∴6＝16a，

∴a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x2．

（2）①∵A（1，2），B（7，2），

当抛物线经过点A时，a＝2，

当抛物线经过点B时，2＝49a，

∴a＝，

∵若G与△ABC有交点，

∴≤a≤2．

②由题意当a＝时，y＝x2，

当y＝8时，8＝x2，

∴x＞0，

∴x＝14，

∴当反比例函数y＝经过点（14，8）时k的值最大，此时k＝112，

∴k的最大值为112．