Question

11．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品	每件售价（万元）	每件成本（万元）	每年其他费用（万元）	每年最大产销量（件）
甲	6	a	20	200
乙	20	10	40+0.05x2	80

其中a为常数，且3≤a≤5
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y₁万元、y₂万元，直接写出y₁、y₂与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据利润=销售数量×每件的利润即可解决问题．
（2）根据一次函数的增减性，二次函数的增减性即可解决问题．
（3）根据题意分三种情形分别求解即可：）①（1180-200a）=440，②（1180-200a）＞440，③（1180-200a）＜440．

解答 解：（1）y₁=（6-a）x-20，（0＜x≤200）
y₂=10x-40-0.05x²=-0.05x²+10x-40．（0＜x≤80）．
（2）对于y₁=（6-a）x-20，∵6-a＞0，
∴x=200时，y₁的值最大=（1180-200a）万元．
对于y₂=-0.05（x-100）²+460，
∵0＜x≤80，
∴x=80时，y₂最大值=440万元．
（3）①（1180-200a）=440，解得a=3.7，
②（1180-200a）＞440，解得a＜3.7，
③（1180-200a）＜440，解得a＞3.7，
∵3≤a≤5，
∴当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．
当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．
当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．

点评 本题考查二次函数、一次函数的应用，解题的关键是构建函数解决实际问题中的方案问题，属于中考常考题型．