Question

如图，在⊙O中，两条直径AB、CD互相垂直，过BA延长线上一点P作PM切⊙O于点M，过M作MN⊥AB于点N，连结AM．
（1）求证：∠PMA=∠AMN；
（2）若AP=AM，PM=6，求PB的长；
（3）连结PD交⊙O于点E，连结OE、ND，若∠α=∠β，OD=2，求四边形AEDB的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题,等腰三角形的性质,切线的性质,相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：综合题

分析：（1）连接OM，由条件易得∠PMA+∠OMA=90°，∠AMN+∠MAO=90°，由OM=OA可得∠OMA=∠OAM，从而得到∠PMA=∠AMN．
（2）由AP=AM得∠MPA=∠PMA，在△PNM中，运用三角形内角和定理可求出∠MPA的值，然后利用三角函数就可求出OM、OP的长，就可求出PB的长．
（3）过点E作EH⊥OA于点H，如图2，易证△ONM∽△OMP，从而有

OM

OP

=

ON

OM

，由OM=OD得

OD

OP

=

ON

OD

，从而可以证到△NOD∽△DOP，进而可以证到∠NDO=∠DPO=∠POE=α，根据三角形内角和定理可求出α的值，然后利用三角函数就可求出PO、EH的长，进而可求出PA、PB的长，就可求出四边形AEDB的面积．

解答：（1）证明：连接OM，如图1，
∵PM切⊙O于点M，
∴∠PMO=90°．
∴∠PMA+∠OMA=90°．
∵MN⊥AB，
∴∠AMN+∠MAO=90°．
∵OM=OA，
∴∠OMA=∠OAM．
∴∠PMA=∠AMN．

（2）∵AP=AM，
∴∠解：MPA=∠PMA．
∴∠MPA=∠PMA=∠AMN．
∴∠MPA+∠PMN=90°．
∴3∠MPA=90°．
∴∠MPA=30°．
∴tan∠MPO=

OM

PM

=

OM

6

=

3

3

．
∴OM=2

3

．
∴OP=

OM2+PM2

=4

3

．
∴PB=PO+OB=PO+OM=6

3

．
∴PB的长为6

3

．

（3）解：过点E作EH⊥OA于点H，如图2，
∵∠MNO=∠PMO=90°，∠MON=∠POM，
∴△ONM∽△OMP．
∴

OM

OP

=

ON

OM

．
∵OM=OD，
∴

OD

OP

=

ON

OD

．
∵∠NOD=∠DOP，
∴△NOD∽△DOP．
∴∠NDO=∠DPO．
∵α=β即∠POE=∠NDO，
∴∠POE=∠DPO=α．
∴∠OED=2α．
∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED=2α．
∵∠POD=90°，
∴α+2α=90°．
∴α=30°．
∴∠PDO=60°．
∵EH⊥AO，
∴EH=

1

2

OE=

1

2

OD=1．
在Rt△POD中，
tan∠PDO=

OP

OD

=

OP

2

=

3

．
∴OP=2

3

．
∴AP=OP-OA=OP-OD=2

3

-2．
∴S_{四边形AEDB}=S_△DBP-S_△EAP
=

1

2

BP•OD-

1

2

AP•EH
=

1

2

×（2

3

+2）×2-

1

2

×（2

3

-2）×1
=3+

3

．
∴四边形AEDB的面积为3+

3

．

点评：本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数值、相似三角形的判定与性质、30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，而证到△NOD∽△DOP是解决第（3）小题的关键．