Question

如图，已知⊙M和⊙N相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙M和⊙N于C、D，过点B任作一直线分别交⊙M和⊙N于E、F．
（1）求证：△AEF∽△ACD；
（2）证明AC、AD分别是⊙M和⊙N的直径；
（3）你认为AE与AF的比值是一个常数吗？是，请证明它；不是，请说出理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠E=∠C，∠F=∠D，（在同圆中，同弧上的圆周角相等），
∴△AEF∽△ACD．（有两组对应角分别相等的两个三角形相似）；

（2）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CBA=∠DBA=90°，（垂直定义）
∴AC和AD各是⊙M和⊙N的直径．（ 90°的圆周角所对的弦是圆的直径）；

（3）解：AE与AF的比值是一个常数．
∵△AEF∽△ACD，（已证）
AC和AD各是⊙M和⊙N的直径，（已证）
∴=，（相似三角形的对应边成比例）
∴=．
分析：（1）根据圆周角定理得出∠E=∠C，∠F=∠D，即可得出△AEF∽△ACD；
（2）根据已知得出∠CBA=∠DBA=90°，进而求出AC和AD各是⊙M和⊙N的直径；
（3）根据△AEF∽△ACD，得出=，即可得出AE与AF的比值是一个常数．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，根据已知得出△AEF∽△ACD是解题关键．