Question

如图（1），小强将一张直角三角形纸片ABC沿斜边上的中线CD剪开成△AC₁D₁和△BC₂D₂．
（1）将图（1）中的△AC₁D₁（△ACD）纸片沿CD翻折，点A落在点A₁处，CA₁恰好与AB垂直（如图（2）），求tanA的值；
（2）将图（1）中的△AC₁D₁纸片沿直线D₂B（AB）方向平移（点A、D₂、D₁、B在同一直线上），C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂交于点F（如图（3）），求证：D₁E=D₂F．

Answer 1

分析：（1）根据CD是Rt△ABC斜边上的中线由直角三角形斜边上中线的性质可得到∠A=∠ACD，再根据△A₁CD由△ACD翻折而成可得到∠ACD=∠A₁CD，进而可得出∠A的度数，再根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）由图（1）和（3）知，C₁D₁=C₂D₂=CD=AD=AD₁=BD₂，再根据图形平移的性质可得到C₁D₁∥C₂D₂，由平行线的性质即可得到∠AFD₂=∠C₁∠BED₁=∠C₂，进而可得出结论．

解答：解：（1）如图（1）和（2），
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∵△A₁CD由△ACD翻折而成，
∴∠ACD=∠A₁CD，
又∵CA₁⊥AB，
∴∠A+∠ACD+∠DCA₁=3∠A=90°，
∴∠A=30°，
tanA=

3

3

；

（2）由图（1）和（3）知，C₁D₁=C₂D₂=CD=AD=AD₁=BD₂，
∴∠FAD₂=∠C₁，∠B=∠C₂，AD₂=AD₁-D₁D₂=BD₂-D₁D₂=BD₁，
由平移性质得C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠AFD₂=∠C₁∠BED₁=∠C₂，
∴D₂F=AD₂，BD₁=D₁E，
∴D₁E=D₂F．

点评：本题考查的是翻折变换的性质、直角三角形斜边上的中线、平移的性质及特殊角的三角函数值，熟知以上知识点是解答此题的关键．