Question

如图（1），在Rt△ACB中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D．
（Ⅰ）求证：=；
（Ⅱ）当点E是AC的中点时，如图（2）所示，直线ED与⊙O相切吗？请说明理由．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接CD．
∵BC为直径，∴∠ADC=90°…（1分）
∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB…（2分）
∵∠A=∠A，∴Rt△ADC∽Rt△ACB …（3分）
∴=…（4分）

（Ⅱ）ED与⊙O相切． …（5分）
理由如下：连接OD．
∵DE是Rt△ADC的中线．∴ED=EC…（6分）
∴∠EDC=∠ECD．…（7分）
∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD．
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°…（8分）
∴ED与⊙O相切．
分析：（Ⅰ）连接CD．根据相似三角形的判定定理AA证得Rt△ADC∽Rt△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例可以证得结论；
（Ⅱ）ED与⊙O相切．连接OD．欲证直线ED与⊙O相切，只需证明ED⊥OD，即∠EDO=90°即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．