Question

如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向通道，上下底之间有两条纵向通道，各通道的宽度相等．设通道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向通道的面积；
（2）当三条通道的面积是梯形面积的八分之一时，求通道的宽；
（3）根据设计的要求，通道的宽不能超过8米．如果修建通道的总费用（万元）与通道的宽度成正比例关系，比例系数是5.5，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当通道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

Answer 1

【答案】分析：（1）甬道的形状是梯形，所以根据梯形面积公式即可求解；
（2）用含x的代数式表示出三条甬道的总面积，然后求出梯形的总面积，根据三条通道的面积是梯形面积的八分之一列方程求解，在求解过程中要注意三条甬道有重合部分；
（3）表示出修建花坛的总费用与甬道的宽度之间的函数关系式，转化成函数的最值问题进行求解即可．
解答：解：（1）横向甬道的面积为：（120+180）÷2×x=150x（m²）；

（2）依题意：2×80×x+150x-2x²=×（120+180）÷2×80，
整理得：x²-155x+750=0，
x₁=5，x₂=150（不符合题意，舍去），
故甬道的宽为5米；

（3）设建设花坛的总费用为y万元．
则y=0.02×[（120+180）÷2×80-（-2x²+310x）]+5.5x，
=0.04x²-0.7x+240，
当x=-=8.75时，y的值最小．
∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过8米，
∴当x=8米时，总费用最少．
即最少费用为：0.04×8²-0.7×8+240=239.96万元．
点评：考查二次函数的应用；得到甬道的总面积是解决本题的易错点．注意两个梯形的中位线是同一条．