Question

探索、研究：仪器箱按如图方式堆放（自下而上依次为第1层、第2层、…），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数a_n与层数n之间满足关系式a_n=n²-32n+247，1≤n＜16，n为整数．
（1）例如，当n=2时，a₂=2²-32×2+247=187，则a₅=______，a₆=______；
（2）第n层比第（n+1）层多堆放多少个仪器箱；（用含n的代数式表示）
（3）如果不考虑仪器箱堆放所承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由；
（4）设每个仪器箱重54N（牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为160N，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第1、2两层，求第1层中每个仪器箱承受的平均压力；
②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？

Answer 1

解：（1）当n=5时，原式=25-160+247=112，
当n=6时，则原式=36-192+247=91．

（2）方法一：a_n-a_n+1=（n²-32n+247）-[（n+1）²-32（n+1）+247]=31-2n，
即第n层比第（n+1）层多堆放（31-2n）个仪器箱．
方法二：a₁-a₂=29=31-2×1，a₂-a₃=27=31-2×2，
a₃-a₄=25=31-2×3，a₄-a₅=23=31-2×4，
由此得a_n-a_n+1=31-2n，
即第n层比第（n+1）层多堆放（31-2n）个仪器箱．（4）

（3）方法一：a_n=（n²-32n+256）+247-256=（n-16）²-9，
由题设条件，当n≤13时，a_n≥0，
∴仪器箱最多可以堆放12层．
方法二：由a_n=n²-32n+247的图象知：当1≤n＜16时，a_n随n的增大而减小．
∵a₁₂=7＞0，a₁₃=0．
∴仪器箱最多可以堆放12层．

（4）①由题意得，
即第1层中每个仪器箱承受的平均压力为46.75N．
②当n=5时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：

当n=6时，第1层中每个仪器箱承受的平均压力为：

因此，该仪器箱最多可以堆放5层．
分析：（1）把n=5，n=6分别代入进行计算；
（2）方法一：分别表示出n+1和n时的代数式，然后进行减法运算；
方法二是通过计算几个特殊值，找到规律，再进一步计算；
（3）令a_n≥0进行分析求解；
（4）①根据公式分别求得第二层和第一层的个数，再根据第二层的总重量除以第一层的个数进行计算；
②根据①中的方法进行估算，求得最多可以堆放的层数．
点评：本题体现了“估算”思想，体现了“优选”思想，对这类问题能从“中点”处、“黄金分割点”处思考，是学生数学素养的体现．此题要能够根据所给的公式进行分析计算．