【题目】在面积为24的△ABC中,矩形DEFG的边DE在AB上运动,点F,G分别在边BC,AC上.
(1)若AB=8,DE=2EF,求GF的长;
(2)若,如图2,线段DM,EN分别为△ADG和△BEF的角平分线,求证:MG=NF;
(3)求出矩形DEFG的面积的最大值.
【答案】(1)GF的长为4.8;(2)证明见解析;(3)矩形DEFG的面积的最大值为12.
【解析】解:(1)∵△ABC的面积为24,AB=8,
∴△ABC边AB上的高h=6. 1分
设EF=x,则GF=DE=2x.
∵GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,
∴即解得x=2.4. 3分
∴GF=4.8. 4分
(2)过点G作GP∥BC,过点D作DP∥EN,GP,DP交于点P,在DM的延长线上截取DQ=DP,连接QG.
∵DP∥EN,
∴
又∵,∴.
同理可得.
又∵GD=FE,∴△GPD≌△FNE,∴. 6分
∵,∴△GQD≌△GPD,∴. 7分
∵,∴.
又∵,∴. 9分
∴MG=QG.
∴MG=NF. 10分
(3)作于点H,交GF于点I.
设AB=a,AB边上的高为h,DG=y,GF=x,则CH=h,CI=h-y,ah=48.
由(1)知,△CGF∽△CAB,
∴即
则xh12分
则矩形DEFG的面积即.
由二次函数的有关性质知,当时,S取得最大值为.
∴矩形DEFG的面积的最大值为12. 14分
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【题目】已知:线段 , , . 求作:矩形 .
以下是甲、乙两同学的作业:
甲:① 以点 为圆心, 长为半径作弧;
② 以点 为圆心, 长为半径作弧;
③ 两弧在 上方交于点 ,连接 , .
四边形 即为所求矩形.(如图)
乙:① 连接 ,作线段 的垂直平分线,交 于点 ;
② 连接 并延长,在延长线上取一点 ,使 ,连接 , .
四边形 即为所求矩形.(如图)
老师说甲、乙同学的作图都正确.
则甲的作图依据是:;
乙的作图依据是:.
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【题目】如图,在中, , 的垂直平分线分别与, 及的延长线相交于点, , ,且. ⊙O是的外接圆, 的平分线交于点,交⊙O于点,连接, .
(1)求证: ;
(2)试判断与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若, 求的值.
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【题目】如图,在9×7的小正方形网格中,△ABC的顶点A,B,C在网格的格点上.将△ABC向左平移3个单位、再向上平移3个单位得到△A′B′C′.再将△ABC按一定规律依次旋转:第1次,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△;第2次,将△绕点顺时针旋转得到△;第3次,将△绕点顺时针旋转得到△;第4次,将△绕点顺时针旋转得到△依次旋转下去.
(1)在网格中画出△A′B′C′和△;
(2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好为△A′B′C′.
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【题目】二次函数y=(x﹣1)2﹣4的图象先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得函数解析式为( )
A.y=(x﹣1)2+1
B.y=(x﹣3)2﹣1
C.y=(x+1)2﹣1
D.y=(x+2)2+3
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【题目】下面推理正确的是( )
A. ∵a∥b,b∥c,∴c∥d B. ∵a∥c,b∥d,∴c∥d
C. ∵a∥b,a∥c,∴b∥c D. ∵a∥b,c∥d,∴a∥c
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【题目】如图(1)是一个长为 ,宽为 ( > )的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是.
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