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【题目】在面积为24的△ABC中,矩形DEFG的边DEAB上运动,点F,G分别在边BC,AC上.

(1)若AB=8,DE=2EF,求GF的长;

(2)若,如图2,线段DM,EN分别为△ADG和△BEF的角平分线,求证:MG=NF;

(3)求出矩形DEFG的面积的最大值.

【答案】(1)GF的长为4.8;(2)证明见解析;(3)矩形DEFG的面积的最大值为12.

【解析】解:(1)∵△ABC的面积为24,AB=8,

∴△ABCAB上的高h=6. 1分

EF=x,则GF=DE=2x.

∵GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,

解得x=2.4. 3分

GF=4.8. 4分

(2)过点GGPBC,过点DDPEN,GP,DP交于点P,在DM的延长线上截取DQ=DP,连接QG.

DPEN,

又∵,∴.

同理可得.

又∵GD=FE,∴△GPD≌△FNE,∴. 6分

,∴△GQD≌△GPD,∴. 7分

,∴.

又∵,∴. 9分

MG=QG.

MG=NF. 10分

(3)作于点H,交GF于点I.

AB=a,AB边上的高为h,DG=y,GF=x,则CH=h,CI=hy,ah=48.

由(1)知,△CGF∽△CAB,

xh12分

则矩形DEFG的面积.

由二次函数的有关性质知,当时,S取得最大值为.

∴矩形DEFG的面积的最大值为12. 14分

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② 以点 为圆心, 长为半径作弧;
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② 连接 并延长,在延长线上取一点 ,使 ,连接 .
四边形 即为所求矩形.(如图)

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