Question

8．某大学生利用业余时间参与了一家网店经营，销售一种成本为30元/件的文化衫，根据以往的销售经验，他整理出这种文化衫的售价y₁（元/件），销量y₂（件）与第x（1≤x＜90）天的函数图象如图所示（销售利润=（售价-成本）×销量）
（1）求y₁与y₂的函数表达式；
（2）求每天的销售利润w与x的函数关系表达式；
（3）销售这种文化衫的第多少天，每天销售利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）待定系数法分别求解可得；
（2）根据：销售利润=（售价-成本）×销量，分1≤x＜50、50≤x＜90两种情况分别列函数关系式可得；
（3）当1≤x＜50时，将二次函数关系式配方后依据二次函数性质可得此时最值情况，当50≤x＜90时，依据一次函数性质可得最值情况，比较后可得答案．

解答 解：（1）当1≤x＜50时，设y₁=kx+b，
将（1，41）、（50，90）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=41}\\{50k+b=90}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=40}\end{array}\right.$，
∴y₁=x+40，
当50≤x＜90时，y₁=90，
故y₁与x的函数关系式为：y₁=$\left\{\begin{array}{l}{x+40}&{（1≤x＜50）}\\{90}&{（50≤x＜90）}\end{array}\right.$；
设y₂与x的函数关系式为：y₂=mx+n （1≤x＜90），
将（50，100）、（90，20）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{50m+n=100}\\{90m+n=20}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=200}\end{array}\right.$，
故y₂与x的函数关系式为：y₂=-2x+200（1≤x＜90）；

（2）由（1）知，当1≤x＜50时，
W=（x+40-30）（-2x+200）=-2x²+180x+2000；
当50≤x＜90时，
W=（90-30）（-2x+200）=-120x+12000；
综上，W=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+180x+2000}&{（1≤x＜50）}\\{-120x+12000}&{（50≤x＜90）}\end{array}\right.$；

（3）当1≤x＜50时，∵W=-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050，
∴当x=45时，W取得最大值，最大值为6050元；
当50≤x＜90时，W=-120x+12000，
∵-120＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=50时，W取得最大值，最大值为6000元；
综上，当x=45时，W取得最大值6050元，
答：销售这种文化衫的第45天，每天销售利润最大，最大利润是6050元．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的应用，由自变量的范围分情况依据相等关系建立二次函数模型是解题的关键．