Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 (　 )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

如下图，△BEP的周长=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E作AC的对称点F，连接FB，则FB就是BP+PE的最小值．

如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G

∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点

∴BE=2

∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60°

∵点F是点E关于AC的对称点

∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上

则CF=CE=2

∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2

∴∠BEG=60°

∴在Rt△BEG中，EG=1，BG=

∴FG=1+2=3

∴在Rt△BFG中，BF==2

根据分析可知，BF=PB+PE

∴△PBE的周长=2

故选：C