Question

16．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB=AD，AC=3$\sqrt{2}$，tan∠ADC=3，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA、OB，求出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE，根据切线的判定得出即可；
（2）过A作AF⊥CD于F，解直角三角形求出AF、FC，根据勾股定理求出AB、AD，求出CD，根据相似三角形的判定求出△ABE∽△CDA，得出比例式，代入求出即可．

解答 （1）证明：
连接OA、OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BAE=45°，
∴∠OAE=45°+45°=90°，
∴OA⊥AE，
∵OA为半径，
∴AE是⊙O的切线；


（2）解：过A作AF⊥CD于F，则∠AFC=∠AFD=90°，

∵AB=AD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∵在Rt△AFC中，AC=3$\sqrt{2}$，∠ACF=45°，
∴AF=FC=AC•sin∠ACF=3，
∵在Rt△AFD中，tan∠ADC=$\frac{AF}{DF}$=3，
∴DF=1，
∴AB=AD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，且CD=CF+DF=4，
∵四边形ABCD内接⊙O，
∴∠ABE=∠CDA，
∵∠BAE=∠DCA，
∴△ABE∽△CDA，
∴$\frac{BE}{DA}$=$\frac{AB}{CD}$，
∴$\frac{BE}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴BE=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．