Question

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用y表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式：y=

-0.1x2+2.6x+43，(0＜x≤10) 59，(10＜x≤16) -3x+107，(16＜x≤30)

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）一个数学难题，需要55（或以上）的接受能力，上课开始30分钟内，求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟？
（3）如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，填写下表：

x	5	10	15	20	25	30
y

再计算六个y值得平均值M，它能高于45吗？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据已知中的函数解析式，分析出函数的增减性，求出函数的最大值点，及取最大值时，自变量的取值范围，可得答案．
（2）根据题意，构造不等式y≥55，另外根据分段函数的解析式，分段讨论后，综合讨论结果可得答案；
（3）根据（1）中解析式以及x的取值范围分别代入求出y的值，进而求出平均数即可．

解答：解：（1）0＜x≤10时，有y=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
对称轴x=13在区间（0，10]右边，
故当0＜x≤10时，y递增，
最大值为：当y=10时，10=-0.1×（-3）²+59.9=59；
显然，当16＜x≤30时，y递减，
y＜-3×16+107=59．
因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟；

（2）依题意，当0＜x≤10时，
令y≥55，则（x-13）²≤49，
∴6≤x≤10；
当10＜x≤16时，y=59符合要求；
当16＜x≤30时，令y≥55，则x≤17

1

3

，
因此，学生不低于55的接受能力的时间共有17

1

3

-6=11

1

3

（分钟）；

（3）当x=5，则y=-0.1×5²+2.6×5+43=53.5，
当x=10，则y=-0.1×10²+2.6×10+43=59，
当x=15，则y=59，
当x=20，则y=-3×20+107=47，
当x=25，则y=-3×25+107=32，
当x=30，则y=-3×30+107=17，
∴

1

6

（53.5+59+59+47+32+17）≈35.58＜45，
答：计算六个y值得平均值M，它不能高于45．

点评：本题考查了分段函数，分段函数分段处理是解答分段函数时，最常用的方法，它是分类讨论思想在解答函数问题时的简单应用．