Question

如图1，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
（4）如图2，将△AOC沿x轴对折得到△AOC₁，再将△AOC₁绕平面内某点旋转180°后得△A₁O₁C₂（A，O，C₁分别与点A₁，O₁，C₂对应）使点A₁，C₂在抛物线上，求A₁，C₂的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据求抛物线对称轴公式计算即可；
（2）令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为C的纵坐标，确定出C的坐标，再由BC与x轴平行，得到B的纵坐标与C的纵坐标相等，把此时的纵坐标代入抛物线解析式求出x的值，得到B的横坐标，确定出B的坐标，又AC=BC，由BC的长得到AC的长，在直角三角形AOC中，由AC及OC的长，利用勾股定理求出OA的长，确定出A的坐标，把A的坐标代入抛物线解析式中，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出抛物线的解析式；
（3）分三种情况考虑：①以AB为腰且顶角为∠A时，有AB=AP₁，过B作BN⊥x轴，设抛物线对称轴与x轴交于M，且由抛物线解析式求出对称轴，由OA+ON求出AN的长，在直角三角形ABN中，由AN，BN，利用勾股定理求出AB的长，即为AP₁的长，在直角三角形AMP₁中，由AP1及AM的长，利用勾股定理求出P₁M的长，再根据P₁为对称轴上的点及为第四象限的点，得出P₁的坐标；②以AB为腰且顶角为∠B时，有AB=BP₂，同理BP₂的长，在Rt△BQP₂中，根据勾股定理求出QP₂的长，再由QM等于B的纵坐标，求出MP₂的长，再根据P₂为对称轴上的点及为第四象限的点，得出P₂的坐标；
（4）由抛物线的对称性得到抛物线的对称轴与x轴的交点M为对称中心，即M为AA₁的中点，M为C₁C₂的中点，由C关于y轴的对称性得到C₁的坐标，再由A和M的坐标，利用中点坐标公式即可求出C₂及A₁的坐标．

解答：解：（1）∵y=ax²-5ax+4，
∴抛物线的对称轴x=-

b

2a

=

5

2

；

（2）令抛物线y=ax²-5ax+4中x=0，求得y=4，
∴C（0，4），又BC∥x轴，
∴B的纵坐标为4，
把y=4代入y=ax²-5ax+4得：ax²-5ax=0，即ax（x-5）=0，
解得：x=0（舍去）或x=5，
∴B的坐标为（5，4），
∴BC=5，
又∵AC=BC，
∴AC=5，
又∵OC=4，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA=

AC2-OC2

=3，
∴A（-3，0），
把x=-3，y=0代入y=ax²-5ax+4得：9a+15a+4=0，
解得：a=-，
则抛物线解析式为y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；

（3）存在符合条件的点P，共有2个，
①以AB为腰且顶角为∠A时，有AB=AP₁，
过B作BN⊥x轴，设抛物线对称轴与x轴交于M，
由抛物线y=-

1

6

x²+

5

6

x+4，得到对称轴为x=

5

2

，
又∵A（-3，0），B（5，4），
∴OA=3，ON=5，BN=4，
∴AN=OA+ON=8，
在Rt△ABN中，利用勾股定理得：AB=

AN2+BN2

=4

5

，
∴AP₁=4

5

，又AM=3+

5

2

=

11

2

，
在Rt△AMP₁中，根据勾股定理得：MP₁=

AP12-AM2

=

199

2

，则P₁（

5

2

，-

199

2

）；
②以AB为腰且顶角为∠B时，有AB=BP₂，同理BP₂=4，
又∵BQ=

1

2

BC=

5

2

，QM=4，
在Rt△BQP₂中，根据勾股定理得：QP₂=QM+MP₂=

BP22-QB2

，
∴4+MP₂=

295

2

，即MP₂=

295 -8

2

，则P₂（

5

2

，

8- 295

2

）；
综上，满足题意的P有2个，分别为：P₁（

5

2

，-

199

2

）；P₂（

5

2

，

8- 295

2

）；

（3）由抛物线的对称性得到：对称轴与x轴的交点M为对称中心，
根据对称性得到：C₁M=C₂M，AM=A₁M，
∵A（-3，0），M（

5

2

，0），
∴A₁的坐标为（2×

5

2

+3，0），即（8，0），
又∵C（0，4），
∴C₁（0，-4），
又∵M（

5

2

，0），
∴C₂的坐标为（2×

5

2

-0，2×0+4），即（5，4）．

点评：此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，点的坐标，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，线段的中点坐标公式，勾股定理，以及折叠、旋转的性质，利用了转化，分类讨论及数形结合的思想，是一道综合性强、较难的题，要求学生掌握知识要全面．